Em
um dos Cadernos do Professor da Secretaria da Educação do Estado de São Paulo,
do 8° ano do Ensino Fundamental, considera-se que é nessa série o momento ideal
para se fazer uma síntese a respeito dos diversos tipos de números que foram
trabalhados nos anos anteriores e aprofundar o estudo dos campos numéricos. Analise
as afirmações a seguir a respeito dos diferentes tipos de números:
1. O número n2,
sendo n um número natural, pode ser
obtido pela soma dos n + 1 primeiros
números ímpares.
2. Todo número racional pode ser escrito como
uma dízima periódica.
3. O quociente do numerador pelo denominador de
uma fração irredutível só será dízima periódica se ao menos um dos fatores
primos do denominador for diferente de 2 e diferente de 5.
4. Se a representação decimal de m/n com n ≠ 0
for uma dízima periódica, então ela terá no período no máximo n − 2 algarismos.
Apenas
duas dessas afirmações são verdadeiras e são discutidas em Caderno do 8° ano.
São elas:
(A)
1 e 2.
(B)
1 e 3.
(C)
2 e 3.
(D)
2 e 4.
(E)
3 e 4.
Solução: (C)
1. O número n2,
sendo n um número natural, pode ser
obtido pela soma dos n + 1 primeiros
números ímpares → Falso.
O
número n2, sendo n um número natural, pode ser obtido
pela soma dos n primeiros números
ímpares. Ex: 92 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 = 81.
2. Todo número racional
pode ser escrito como uma dízima periódica → Verdadeiro.
Podemos
converter qualquer número decimal finito em uma dízima periódica cujo período será:
ou 0,999...; ou 0,0999...; ou 0,00999...; etc.., então podemos representar qualquer
número racional na forma se uma soma de frações decimais.
Segundo
o Material de apoio ao Currículo do
Estado de São Paulo: “historicamente,
o desenvolvimento da representação de racionais por uma dízima periódica teve
como motivação a busca pela escrita de qualquer fração sob uma forma decimal, pois
tanto o cálculo como a comparação entre frações decimais são mais simples do
que entre frações ordinárias”.
3. O quociente do
numerador pelo denominador de uma fração irredutível só será dízima periódica
se ao menos um dos fatores primos do denominador for diferente de 2 e diferente
de 5 → Verdadeiro.
Segundo
o Material de apoio ao Currículo do
Estado de São Paulo: “As dízimas
periódicas são previsíveis...”, do volume 1 da 7ª série/8º ano. Naquele
momento, foi discutido que, a realizarmos a divisão entre numerador e
denominador de uma fração irredutível, o resultado só será dízima periódica se
ao menos um dos fatores do denominador da fração for diferente de 2 e diferente
de 5. (...)”
4. Se a representação decimal de m/n com n ≠ 0
for uma dízima periódica, então ela terá no período no máximo n − 2 algarismos.
Quando
realizamos uma divisão entre dois números o resto deve ser menor que o divisor.
Então
por exemplo se temos a fração 10/7, as possibilidades de resto em
cada passo são {1, 2, 3, 4, 5, 6}, o zero não é incluído, pois torna a divisão
exata.
Então
temos a possibilidade de um período com até seis algarismos, logo o comprimento
máximo de um período para a representação decimal de m/n
com n ≠ 0 é de no máximo n − 1 algarismos.
Referência: São Paulo (Estado) Secretaria da Educação. Material de apoio ao Currículo
do Estado de São Paulo – Caderno do Professor de Matemática – Ensino
Fundamental – Anos Finais 8ª Série/9º Ano. São Paulo:
SEE, 2017. (link)
Obs.: esta é uma questão que
verifica se o professor está utilizando os cadernos enviados pelo governo se
está seguindo o currículo.
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