Questão 73 – Prova do Estado – (OFA) 2.013 – Professor de Educação Básica II

Considere os pontos A(0,0), B(3,0) e F(1,1) em um mesmo sistema cartesiano. Considere também que o ponto B pertence à circunferência λ, com centro em A, e que os pontos A e F pertencem à reta r. As coordenadas dos pontos de intersecção da circunferência λ com a reta r são:

(A) [(3 √2) / 2 , (3 √2) / 2] e ­[– (3 √2) / 2 , – (3 √2) / 2].

(B) [(3 √2) / 2 , – (3 √2) / 2] e ­[(3 √2) / 2 , – (3 √2) / 2].

­(C) (9 / 2 , 9 / 2) e (–9 / 2 , –9 / 2).

(D) (9 / 2 , –9 / 2) e (–9 / 2 , 9 / 2).

(E) (³√ 9 , ³√ 9) e (–³√ 9 , –³√ 9).

Solução: (A)

A reta r intersecta a circunferência λ em dois pontos e para determina-los devemos igualar a equação da reta com a equação da circunferência.

Determinando a equação da reta que passa pelos pontos A (0,0) e F (1,1):

Coeficiente angular (m) = (y_F – y_A) / (x_F – x_A) = (1 – 0) / (1 – 0) = 1

y – y_A = m ∙ (x – x_A) → y – 0 = 1 ∙ (x – 0) → y = x

Determinando a equação da circunferência de centro no ponto A (0,0) e passando pelo ponto B (3,0):

(x – x_A)² + (y – y_A)² = r²

Obtemos o raio r da circunferência determinando a distância entre os pontos A e B:

d_AB = √ [(x_A – x_B)² + (y_A – y_B)²] = √ [(0 – 3)² + (0 – 0)²] = √ 9 = 3

(x – 0)² + (y – 0)² = 3² → x² + y² = 9 → x² + y² – 9 = 0

Relacionado as duas equações, temos: da equação da reta temos y = x e substituindo y na equação da circunferência, obtemos:

x² + y² = 9  → 2x² = 9 → x = ± (3 √ 2) / 2

Substituindo x na equação da reta r, obtemos:

• para x = (3 √ 2) / 2 → y = (3 √ 2) / 2;

• para x = – (3 √ 2) / 2 → y = – (3 √ 2) / 2;

Temos então os pontos [(3 √ 2) / 2 , (3 √ 2) / 2] e [– (3 √ 2) / 2 , – (3 √ 2) / 2].