Questão 66 – Prova do Estado – (OFA) 2.013 – Professor de Educação Básica II

Regiane, aluna do 3.º ano do Ensino Médio, resolveu corretamente a equação x³ – x² + 4x – 4 = 0, tendo como universo o conjunto dos números complexos. Ao finalizar a resolução, Regiane encontrou apenas

(A) uma raiz.

(B) duas raízes, sendo elas distintas.

(C) três raízes, sendo duas delas idênticas.

(D) três raízes, todas idênticas.

(E) três raízes, todas distintas.

Solução: (E)

Sendo a equação do terceiro grau na forma x³ + a ∙ x² + b ∙ x + c = 0, realizamos a substituição de x = y – (a/3).

x³ + a ∙ x² + b ∙ x + c = 0 → [y – (a / 3)]³ + a ∙ [ y – (a / 3)]² + b ∙ [ y – (a / 3)] + c = 0 →

→ y³ + [b – (a / 3)] ∙ y + [(2 ∙ a³) / 27] – [(a ∙ b) / 3] + c = 0

Temos uma equação sem o termo do segundo grau, temos uma equação do terceigrau na forma x³ + p ∙ x + q = 0

O discriminante desta equação é obtido pela fórmula:

Δ = (q / 2)² + (p / 3)³

Se Δ > 0 a equação tem uma raiz real e duas raízes complexas conjugadas; se Δ < 0 a equação tem três raízes reais sendo uma repetida; se Δ < 0 a equação tem três raízes reais e distintas.

Aplicando o procedimento na equação x³ – x² + 4 ∙ x – 4 = 0, onde a = – 1, b = 4 e c = – 4, obtemos:

y³ + (11 / 3) ∙ y – (74 / 27)

Δ = (q / 2)² + (p / 3)³ = [– (74 / 27) / 2]² + [(11 / 3) / 3]³ = 100 / 27

Δ > 0, obtemos três raízes distintas.

Fonte: A Equação do Terceiro Grau, Elon Lages Lima, Revista Matemática Universitária, No.5, Junho/1987. < http://pt.scribd.com/doc/60938464/A-Equacao-do-Terceiro-Grau-Elon-Lages-Lima>. Acesso: 02/01/2.013.