Um professor fez a seguinte construção geométrica, em que O e M são, respectivamente, os centros das circunferências C1 e C2. Em seguida, solicitou que seus alunos apontassem características da reta que passa pelos pontos P e T.
A respeito dessa reta, um aluno fez as seguintes afirmações:
I. OPT é necessariamente um triângulo retângulo.
II. o segmento TP é perpendicular ao raio OT da circunferência C1, logo, a reta TP é tangente a essa circunferência, no ponto T.
III. a reta TP é a única tangente à circunferência C1, que pode ser construída passando pelo ponto P.
Em relação às afirmações apresentadas pelo aluno, é correto dizer que é (são) verdadeira(s)
(A) apenas I.
(B) apenas II.
(C) apenas I e II.
(D) apenas II e III.
(E) I, II e III.
Soluções: (C)
I.
OPT é necessariamente um triângulo retângulo → Verdadeiro
Segundo
Dolce e Pompeo (1.997, p. 171) “se um triângulo
inscrito numa semicircunferência tem um lado igual ao diâmetro, então ele é
triângulo retângulo”, ou seja, se um triângulo inscrito numa circunferência
possui um dos lados igual ao diâmetro temos um triângulo retângulo e esse lado
é a hipotenusa do triângulo.
II.
o segmento TP é perpendicular ao raio OT da circunferência C1, logo, a reta TP
é tangente a essa circunferência, no ponto T → Verdadeiro
Os
segmentos TP e OT são os catetos do triângulo, portanto o ângulo entre eles é
de 90º.
Segundo
Dolce e Pompeo (1.997, p. 153) “toda (reta)
tangente a uma circunferência é perpendicular ao raio no ponto de tangência”,
o ponto T é comum entre os segmentos TP e OT e neste ponto temos um ângulo de
90º entre os segmentos sendo que o segmento OT é o raio da circunferência C1, portanto
o segmento TP tangencia a circunferência C1 no ponto T.
III.
a reta TP é a única tangente à circunferência C1, que pode ser construída
passando pelo ponto P → Falso
Observe que C2 intercepta C1 em dois pontos: o ponto T e um outro ponto não indicado, entretanto este ponto compartilha as mesmas características do ponto T.
Fonte: DOLCE, Osvaldo. POMPEO, José Niciolau. Fundamentos da Matemática Elementar - Volume 9: Geometria Plana. 7º edição. São Paulo: Editora Atual, 1.997.
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