Questão 68 – Formação Básica do Professor e Formação Específica do Professor – 2.007 – Estado de São Paulo

A quantidade de valores reais a, para os quais a intersecção das retas de equações 2 ∙ a² ∙ x – 3 ∙ y = 1 e x + 2 ∙ (1 – a2) ∙ y = 4 é vazia, é

(A) 0.
(B) 1.
(C) 2.
(D) 3.
(E) 4.

Solução: (C)

Para a intersecção das retas 2 ∙ a² ∙ x – 3 ∙ y = 1 e x + 2 ∙ (1 – a²) ∙ y = 4 seja vazia é necessário que estas retas sejam paralelas não coincidentes.

Para que as retas sejam paralelas, os coeficientes angulares das retas devem ser iguais.

2 ∙ a² ∙ x – 3 ∙ y = 1

2 ∙ a² ∙ x – 1 = 3 ∙ y

(2 ∙ a² ∙ x) / 3 – (1 / 3) = 3

O coeficiente angular da reta 2 ∙ a² ∙ x – 3 ∙ y = 1 é (2 ∙ a²) / 3.

x + 2 ∙ (1 – a²) ∙ y = 4

2 ∙ (1 – a²) ∙ y = 4 – x

y = 4 / [2 ∙ (1 – a²)] – x / [2 ∙ (1 – a²)]

O coeficiente angular da reta x + 2 ∙ (1 – a²) ∙ y = 4 é – 1 / [2 ∙ (1 – a²)].

Igualando os dois coeficientes obtêm-se:

(2 ∙ a²) / 3 = – 1 / [2 ∙ (1 – a²)]

(2 ∙ a²) ∙ [2 ∙ (1 – a²)] = – 3

4 ∙ a² (1 – a²) = – 3

4 ∙ a² – 4 ∙ a⁴ = – 3

4 ∙ a² – 4 ∙ a⁴ + 3 = 0

Realizando uma mudança de variável: a² = y obtemos a equação do segundo grau:

4 ∙ y  – 4 ∙ y² + 3 = 0

Resolvendo esta equação obtemos duas raízes: y₁ = 3 / 2 e y₂ = – 1.

Como a² = y a solução y = – 1 não gera solução para esta questão.

a² = y

a² = 3 / 2

a = ± √(3 /2)

Portanto temos dois valores para a que satisfazem as condições da questão.

Resolução a pedido da Profª. Cleonice.