Questão 66 – Formação Básica do Professor e Formação Específica do Professor – 2.007 – Estado de São Paulo

Seja ABCD um quadrado de lado unitário. Sendo M e N os pontos médios dos lados AB e BC, respectivamente, e I a in-tersecção dos segmentos DN e CM, a área do triângulo NIC é

(A) 1/20.
(B) 1/16.
(C) 1/12.
(D) 1/10.
(E) 1/8.

Solução: (A)

Seguindo os dados do exercício obtemos a figura:

 

Figura 1: Cosntrução obtida conforme os dados do problema.

1º método de resolução:

Considerando os triângulos NCD e NIC temos: o ângulo NCI é côngruo ao ângulo NDC; o ângulo DNC é côngruo ao ângulo INC (este ângulo é comum aos triângulos NCD e NIC).

Portanto, pelo critério de dois ângulos congruente os triângulos NCD e NIC são semelhantes, assim, o ângulo NIC é reto (90º).

No triângulo NCD, reto em C, temos: NC = 1 / 2 e CD = 1, pelo Teorema de Pitágoras determina-se DN:

DN² = NC² + CD² = 1² + (1 / 2)²

DN² = 1 + (1 / 4) = 5 / 4

DN = √ (5 / 4) = (√ 5) / 2

Utilizando a razão de semelhança sabemos que:

DN / NC = CD / IC

[(√ 5) / 2] / (1 /2) = 1 / IC

IC = 1 / √5

DN / NC = NC / NI

[(√ 5) / 2] / (1 /2) = (1 / 2) / NI

NI = 1 / (2 ∙ √ 5)

A área do triângulo é o metade do produto da base pela altura.

A_triângulo = (IC ∙ NI) / 2

A_triângulo = {[1 / √5] ∙ [1 / (2 ∙ √ 5)]} / 2 = {1 / [2 ∙ (√ 5)²]} / 2 =

A_triângulo = {1 / 10} / 2 = 1 / 20

2º método de resolução:

Baseado na resolução de Elcioschin (http://www.soensino.com.br/foruns/viewtopic.php?f=5&t=28490).

Figura 2: Quadrado inserido no plano cartesiano.

Coloque o quadrado num sistema cartesiano de ponto (x,y) com os pontos dos vértices do quadrado em D(0, 0), C(1, 0), M(1/2, 1) e N(1, 1/2)

Na geometria analítica podemos determinar a reta que passa por dois pontos:

Reta DN → y = x / 2

Reta CM → y = (– 2) ∙ (x – 1) → y = – 2x + 2

As coordenadas do ponto I são obtidas igualando as equações da reta DN e da reta CM:

I → x / 2 = – 2x + 2 → x_I = 4 / 5 → y_I = 2 / 5

I (4 / 5, 2 / 5)

Base do triângulo = NC = 1/2

Altura do triângulo relativa à esta base é obtida calculando a distância entre a abscissa do ponto C e do ponto I

x_C – x_I = 1 – 4 / 5 = 1 / 5

S = [(1 / 2) ∙ (1 / 5)] / 2 → S = 1 / 20

Resolução a pedido da Profª. Cleonice.