Questão 53 – Prova do Estado – (OFA) 2.012 – Professor de Educação Básica II

Considere como estágio 0 um triângulo retângulo e isós-celes, como estágio 1 um triângulo retângulo com catetos medindo metade dos catetos do triângulo do estágio imediatamente anterior, como estágio 2 um triângulo retângulo com catetos medindo metade dos catetos do triângulo do estágio imediatamente anterior e, assim, sucessivamente, conforme mostra a ilustração.

As áreas das regiões planas limitadas pelos triângulos, ordenadas por estágios, geram uma progressão
 

(A) não aritmética e não geométrica.
(B)  aritmética com razão 1/2.
(C)  aritmética com razão 1/4.
(D) geométrica com razão 1/2.(E)  geométrica com razão 1/4.

Solução: (E)

Realizando os cálculos das áreas na forma como é dado pelo enunciado, no estagio 0 (e₀) temos:

e₀ = (b ∙ h) / 2

No estágio e₁, a altura e a base do estágio e₀ é dividido por 2, logo: h / 2 e b / 2, temos:

e₁ = [(b / 2) ∙ (h / 2)] / 2 = [(b ∙ h) / 4] / 2 = (b ∙ h) / 8

No estágio e₂, a altura e a base do estágio e₁ é dividido por 2, logo: h / 4 e b / 4, temos:

e₂ = [(b / 4) ∙ (h / 4)] / 2 = [(b ∙ h) / 16] / 2 = (b ∙ h) / 32

No estágio e₃, a altura e a base do estágio e₂ é dividido por 2, logo: h / 8 e b / 8, temos:

e₃ = [(b / 8) ∙ (h / 8)] / 2 = [(b ∙ h) / 64] / 2 = (b ∙ h) / 128

E assim prossegue indefinidamente, onde temos a sequência:

{(b ∙ h) / 2; (b ∙ h) / 8; (b ∙ h) / 32; (b ∙ h) / 128; ...}

Observe que:

e₀ = (b ∙ h) / 2;

e₁ = (b ∙ h) / 8 = [(b ∙ h) / 2] ∙ (1 / 4);

e₂ = (b ∙ h) / 32 = [(b ∙ h) / 8] ∙ (1 / 4);

e₃ = (b ∙ h) / 128 = [(b ∙ h) / 32] ∙ (1 / 4);

Temos uma progressão geométrica cuja razão é (1 / 4).