Questão 53 – Formação Básica do Professor e Formação Específica do Professor – 2.007 – Estado de São Paulo

Um quadrado de área A, um triângulo equilátero de área B e um círculo de área C têm o mesmo perímetro. Então, pode-se afirmar que

(A) A = B = C.
(B) A = C > B.
(C) A > B > C.
(D) C > A > B.
(E) C > B > A.

Solução: (D)

Área_quadrado = (lado)² = A

Área_triangulo = (base ∙ altura) / 2 = B

Área_círculo = π ∙ (raio)² = C

Como as figuras possuem o mesmo perímetro, vamos considera-lo como sendo de valor p.

O lado do quadrado mede p / 4, pois o quadrado possui quatro lados iguais.

O lado do triângulo equilátero mede p / 3, pois o triângulo equilátero possui três lados iguais. A altura do triângulo equilátero é obtida pelo uso do teorema de Pitágoras: a² = h² – b², onde h é a medida do lado e b é a medida da medida da base.

a² = (p / 3)² – (p / 6)² = (p² / 9) – (p² / 36) = p² / 12

a = √ (p² / 12) = p / √12 = p / (2 ∙ √3)

O perímetro do círculo (a circunferência) é obtido pela fórmula: p = 2 ∙ π ∙ r, assim o raio deste circulo é r = p / (2 ∙ π).

Com estes dados determinamos A, B e C.

A = (p / 4)² = p² / 4² = p² / 16

B = {(p / 3) ∙ [p / (2 ∙ √3)]} / 2 = {p² / (6 ∙ √3)} / 2 = p² / (12 ∙ √3)

C = π ∙ [p / (2 ∙ π)]² = π ∙ [p² / (2 ∙ π)²] = p² / (4 ∙ π)

Observe que: 

A = (p² / 4) ∙ (1 / 4) 

B = (p² / 4) ∙ (1 / 3 ∙ √3)

C = (p² / 4) ∙ (1 / π)

Para p = 2, (p² / 4) = 1 e considerando √3 ≈ 1,73e π ≈ 3,14:

[1 / (3 ∙ √3)] < (1 / 4) < (1 / π) →  0,19 < 0,25 < 0,31 

B < A < C → C > A > B 

Resolução a pedido da Profª. Cleonice.